- Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M.

- Chứng minh:

- Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M.

- Chứng minh:

Δ AMB và Δ AMC có: AM chung MB =MC và AC > AB
=> AMC^ > AMB^ => M thuộc CH.(M ở giữa C và H)
AB<AC => B^ > C^ => BAH^ < CAH^ => D thuộc CH.(1)
theo tính chất phân giác:
BD/AB = CD/AC
mà: AC > AB => CD > BD => D thuộc BM (2)
(1) và (2) => D thuộc HM hay D là điểm nằm giữa H và M.

+Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M.

+Chứng minh: AD là đường phân giác của ∆ABC.

=> AB < AC

=>DB < DC => DB + DC < DC + DC

=>BD + DC < 2DC hay BC < 2DC => DC >

Mà (M là trung điểm của BC)

=>DC > MC =>M nằm giữa D và C (1)

+Mặt khác: (∆CAH vuông tại H)

(tổng 3 góc ∆ABC)

=>

=>

Vì AB < AC =>

Do đó: hay

=>Tia AD nằm giữa hai tia AH và AC =>D nằm giữa hai điểm H và C (2)

Từ (1) và (2) => D nằm giữa H và M.

a )

Ta có :

\(AC>AB\Rightarrow HC>HB\) ( quan hệ đường xiên và hình chiếu )

b )

Xét vào hình ta thấy :

\(HAC>DAC\)

\(\Rightarrow HAC>\dfrac{1}{2}BAC\)

a: Xét tứ giác ABDC có

M là trung điểm chung của AD và BC

=>ABDC là hbh

=>CD=AB

=>CD>AC

=>góc CAD>góc ADC

b: Xét ΔABC có AC<AB

mà HC,HB lần lượt là hình chiếu của AC,AB trên BC

nên HC<HB

Xét ΔECB có

HC<HB

HC,HB lần lượt là hình chiếu của EC,EB trên BC

=>EC<EB

a) Trong tam giác ABC với giả thuyết AB<AC,suy ra HB<HC

b)Trong tam giác ABC với giả thuyết AB<AC,suy ra:

\(\widehat{B}<\widehat{C} \Leftrightarrow \widehat{C}-\widehat{B}>0\) .Trong tam giác ABC vuông tại H ta có:

\(\widehat{HAC}=90^o-\widehat{C}=\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C})-\widehat{C}=\dfrac{\widehat{A}}{2}+\dfrac{\widehat{C}-\widehat{B}}{2}>\dfrac{\widehat{A}}{2}\)(đpcm)

c) Ta có nhận xét :\(\widehat{CAM}<\widehat{CAD}=\dfrac{\widehat{A}}{2}<\widehat{CAH}\)

Do đó AD nằm giữa hai tia AH và AM

Để chứng minh rằng √2/AD = 1/AB + 1/AC, ta có thể sử dụng định lý phân giác trong tam giác vuông.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có đường phân giác AD chia góc BAC thành hai góc bằng nhau.

Áp dụng định lý phân giác, ta có:

AB/BD = AC/CD

Từ đó, ta có:

AB/AD + AC/AD = AB/BD + AC/CD

= (AB + AC)/(BD + CD)

= (AB + AC)/BC

= 1/BC (vì tam giác ABC vuông tại A)

Vậy, ta có:

1/AD = 1/AB + 1/AC

√2/AD = √2/AB + √2/AC

Vậy, chứng minh đã được hoàn thành.

Để chứng minh rằng nếu 1/ah^2 + 1/am^2 = 2/ad^2, ta cần có thông tin chi tiết về tam giác ABC và các điều kiện đi kèm.

2/AD^2=(căn 2/AD)^2

=(1/AB+1/AC)^2

\(=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}+2\cdot\dfrac{1}{AB\cdot AC}\)

\(=\dfrac{1}{AH^2}+2\cdot\dfrac{1}{AH\cdot BC}\)

\(=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{AM^2}\)